三角形及其特殊线段

该定理把关于角的信息（$AD$ 平分角 $A$）直接转化为对边上的长度之比，使我们仅凭 $\triangle ABC$ 的三边长就能确定角平分线落点的位置。

第一步（利用从 $A$ 出发的公共高比较面积）。三角形 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 共享从顶点 $A$ 到直线 $BC$ 的同一条高，因此它们的面积之比等于 $BC$ 上的底边之比：$\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{BD}{DC}$。

第二步（以 $AB$ 与 $AC$ 为底再比较这两个面积）。因为 $D$ 在角 $A$ 的平分线上，$D$ 到该角两边的垂直距离相等：$d(D, AB) = d(D, AC)$。取 $AB$ 与 $AC$ 分别为 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的底，这两条相等的垂线段恰好就是对应的高，所以面积之比也等于这两条底边之比：$\dfrac{S(\triangle ABD)}{S(\triangle ACD)} = \dfrac{AB}{AC}$。

第三步（令两式相等）。由于两个右边都等于同一个面积比，将第一步与第二步联立立即得到 $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$，证毕。

平面上随便画的三条直线几乎不会交于同一点——它们通常会围成一个小三角形。看到沿 $AM$ 走 $\dfrac{2}{3}$ 处的点的公式关于 $A$、$B$、$C$ 完全对称，就能一下子明白为什么三条中线必定命中完全相同的那一点。

第一步（中点坐标）。把 $\triangle ABC$ 放在坐标平面上，顶点为 $A$、$B$、$C$。边 $BC$ 的中点 $M$ 是 $B$ 与 $C$ 的平均：$M = \left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\, \dfrac{y_B+y_C}{2}\right)$。

第二步（沿 $AM$ 走三分之二处的点）。从 $A$ 朝 $M$ 走线段 $AM$ 的 $\dfrac{2}{3}$，所得点为 $A + \dfrac{2}{3}(M - A) = \dfrac{1}{3}A + \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{B+C}{2} = \dfrac{A+B+C}{3}$，给出坐标 $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$。

第三步（对称性迫使三线共点）。注意最终公式 $G = \left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3},\, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ 关于 $A$、$B$、$C$ 完全对称——交换 $A$ 与 $B$ 的角色（求中线 $BN$ 上 $\dfrac{2}{3}$ 处的点）或交换 $A$ 与 $C$ 的角色（沿 $CP$），都会得到完全相同的点 $G$。因此三条中线都经过 $G$，且 $G$ 位于从每个顶点到对边中点 $\dfrac{2}{3}$ 的位置（$AG = \dfrac{2}{3} AM$）。