Định lý thể tích hình lăng trụ

Trước hết xét một lăng trụ đứng, có các cạnh bên vuông góc với đáy. Cắt lăng trụ bằng một mặt phẳng song song với đáy ở độ cao bất kì cho một thiết diện đồng dạng (thực ra là bằng nhau) với chính đáy, diện tích $B$. Xếp chồng các thiết diện này từ độ cao $0$ đến $h$ cho thể tích $\int_0^h B\,dy = Bh$, đúng bằng $V = Bh$ cho lăng trụ đứng.

Bây giờ xét một lăng trụ xiên bất kì có cùng diện tích đáy $B$ và cùng chiều cao $h$. Đặt nó cạnh một lăng trụ đứng có cùng đáy và chiều cao đó, chung mặt phẳng chứa một đáy. Thiết diện của lăng trụ xiên ở độ cao $y$ là một bản sao tịnh tiến của đáy (tịnh tiến không làm đổi diện tích), nên nó có diện tích $B$, đúng bằng thiết diện của lăng trụ đứng ở cùng độ cao đó.

Theo nguyên lý Cavalieri, vì hai khối có diện tích thiết diện bằng nhau là $B$ tại mọi độ cao $y \in [0, h]$, chúng có thể tích bằng nhau. Vì lăng trụ đứng có thể tích $V = Bh$, lăng trụ xiên cũng vậy, chứng minh công thức cho mọi lăng trụ.