棱柱体积定理

首先考虑一个直棱柱,其侧棱与底面垂直。用平行于底面的平面在任意高度截取,截面都与底面本身全等,面积为 $B$。将这些截面从高度 $0$ 到 $h$ 叠加,得体积 $\int_0^h B\,dy = Bh$,这正是直棱柱的 $V = Bh$。

再考虑任意一个具有相同底面积 $B$ 和相同高 $h$ 的斜棱柱。将它与一个具有相同底面和高的直棱柱并排放置,共用一个底面所在的平面。斜棱柱在高度 $y$ 处的截面是底面的一个平移副本(平移不改变面积),因此面积同样是 $B$,与直棱柱在该高度的截面面积完全相同。

由卡瓦列里原理,由于两个立体在每个高度 $y \in [0, h]$ 处的截面积都相等(均为 $B$),它们的体积相等。既然直棱柱的体积是 $V = Bh$,斜棱柱的体积也是如此,从而对一切棱柱证明了该公式。