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多面体及其体积 由平面多边形面围成的立体图形,以及计算其所占空间的体积公式。
直观 一颗晶体、一顶帐篷或一座金字塔内部有多少空间? 一个纸箱、一颗切割过的钻石、一顶金字塔形的帐篷、一枚六面骰子——它们都是多面体,其整个表面都由若干平面多边形沿棱粘合而成。"体积"就是这样一个立体所占空间的大小——能装下多少沙子,或帐篷内能封住多少空气。把相同的薄层叠起来,很容易得到箱子的体积;下面的交互式立体可以把一个形状"炸开"成若干部分,让你看清楚为什么像金字塔这样的尖顶立体,所占的空间比同样底面和高度的箱子要小得多。
将一个正四面体拆解为其4个三角形面。无论多么复杂的多面体,都是由若干平面多边形沿棱和顶点拼接而成——这正是计算它们所围体积的出发点。 中学 棱柱与棱锥:底面、高与体积 定义: 多面体、棱柱、棱锥
多面体是完全由多边形(其各个面)围成的立体,这些面沿棱和顶点相接。棱柱有两个互相平行且全等的多边形底面,由平行四边形侧面连接;棱锥只有一个多边形底面,各侧面是在同一个顶点相交的三角形。
V prism = B h V_{\text{prism}} = B h V prism = B h 对任意棱柱,体积都是 V = B h V = Bh V = B h B B B h h h B B B
V pyramid = 1 3 B h V_{\text{pyramid}} = \frac{1}{3} B h V pyramid = 3 1 B h 与同样底面积 B B B h h h V = 1 3 B h V = \frac{1}{3}Bh V = 3 1 B h 1 3 \frac{1}{3} 3 1
常见立体的体积公式 立体 体积公式 长方体(棱长 p, q, r) V = p q r V = pqr V = pq r 一般棱柱(底面积 B,高 h) V = B h V = Bh V = B h 一般棱锥(底面积 B,高 h) V = 1 3 B h V = \frac{1}{3}Bh V = 3 1 B h 棱台(两底面积 B1, B2,高 h) V = h 3 ( B 1 + B 2 + B 1 B 2 ) V = \frac{h}{3}\left(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1 B_2}\right) V = 3 h ( B 1 + B 2 + B 1 B 2 )
大学 证明体积公式 定义: 卡瓦列里原理
如果两个立体都夹在两个平行平面之间,并且与这两个平面平行的任何平面截得的两个立体截面面积都完全相同 A ( y ) A(y) A ( y ) y y y
A 1 ( y ) = A 2 ( y ) ∀ y ∈ [ 0 , h ] ⟹ V 1 = ∫ 0 h A 1 ( y ) d y = ∫ 0 h A 2 ( y ) d y = V 2 A_1(y) = A_2(y)\ \ \forall y \in [0, h] \ \implies\ V_1 = \int_0^h A_1(y)\,dy = \int_0^h A_2(y)\,dy = V_2 A 1 ( y ) = A 2 ( y ) ∀ y ∈ [ 0 , h ] ⟹ V 1 = ∫ 0 h A 1 ( y ) d y = ∫ 0 h A 2 ( y ) d y = V 2 对任意棱柱(无论是直棱柱还是斜棱柱),只要底面积为 B B B h h h V = B h V = Bh V = B h
为什么成立? 一叠完全相同的扑克牌,无论叠得笔直还是被推斜,体积都不变——因为重复的是牌堆的截面,而不是它的外形轮廓。棱柱正是由无穷多张底面的极薄复制品这样堆叠而成的。
证明 首先考虑一个直棱柱,其侧棱与底面垂直。用平行于底面的平面在任意高度截取,截面都与底面本身全等,面积为 B B B 0 0 0 h h h ∫ 0 h B d y = B h \int_0^h B\,dy = Bh ∫ 0 h B d y = B h V = B h V = Bh V = B h
再考虑任意一个具有相同底面积 B B B h h h y y y B B B
由卡瓦列里原理,由于两个立体在每个高度 y ∈ [ 0 , h ] y \in [0, h] y ∈ [ 0 , h ] B B B V = B h V = Bh V = B h
对任意底面积为 B B B h h h V = 1 3 B h V = \frac{1}{3}Bh V = 3 1 B h
为什么成立? 棱锥向一点收缩变细,因此它的大多数截面都比底面小得多;系数1/3正是这种收缩所付出的精确代价,可以通过把我们已经熟悉的三棱柱切成三个体积相等的棱锥来精确确定。
证明 第一步(三角形情形,分割法)。取一个底面积为 B B B h h h A B C . A 1 B 1 C 1 ABC.A_1B_1C_1 A B C . A 1 B 1 C 1 V = B h V = Bh V = B h ( A 1 B C ) (A_1BC) ( A 1 B C ) ( A 1 B C 1 ) (A_1BC_1) ( A 1 B C 1 ) A 1 . A B C A_1.ABC A 1 . A B C A 1 . B C C 1 A_1.BCC_1 A 1 . B C C 1 A 1 . B B 1 C 1 A_1.BB_1C_1 A 1 . B B 1 C 1 A 1 . B C C 1 A_1.BCC_1 A 1 . B C C 1 A 1 . B B 1 C 1 A_1.BB_1C_1 A 1 . B B 1 C 1 A 1 A_1 A 1 B C C 1 BCC_1 B C C 1 B B 1 C 1 BB_1C_1 B B 1 C 1 B C C 1 B 1 BCC_1B_1 B C C 1 B 1 A 1 . A B C A_1.ABC A 1 . A B C A 1 . B C C 1 A_1.BCC_1 A 1 . B C C 1 B B B 1 3 ⋅ V prism = 1 3 B h \frac{1}{3} \cdot V_{\text{prism}} = \frac{1}{3}Bh 3 1 ⋅ V prism = 3 1 B h A 1 . A B C A_1.ABC A 1 . A B C A B C ABC A B C B B B A 1 A_1 A 1 h h h V = 1 3 B h V = \frac{1}{3}Bh V = 3 1 B h
Bước 2 (Cavalieri cho hình dạng đáy bất kì). Bây giờ so sánh một hình chóp tam giác và một hình chóp có đáy bất kì khác, cả hai có cùng diện tích đáy B B B h h h y y y ( 0 ≤ y ≤ h ) (0 \le y \le h) ( 0 ≤ y ≤ h ) ( h − y h ) \left(\frac{h-y}{h}\right) ( h h − y ) k k k k 2 k^2 k 2 y y y B ( h − y h ) 2 B\left(\frac{h-y}{h}\right)^2 B ( h h − y ) 2 B B B h h h
Vì hai hình chóp được so sánh có diện tích thiết diện giống hệt nhau tại mọi độ cao, nguyên lý Cavalieri cho chúng thể tích bằng nhau. Vì Bước 1 đã thiết lập V = 1 3 B h V = \frac{1}{3}Bh V = 3 1 B h V = 1 3 B h V = \frac{1}{3}Bh V = 3 1 B h B B B h h h
给定三棱锥 S . A B C S.ABC S . A B C A ′ ∈ S A A' \in SA A ′ ∈ S A B ′ ∈ S B B' \in SB B ′ ∈ S B C ′ ∈ S C C' \in SC C ′ ∈ S C S . A ′ B ′ C ′ S.A'B'C' S . A ′ B ′ C ′ V S . A ′ B ′ C ′ V S . A B C = S A ′ S A ⋅ S B ′ S B ⋅ S C ′ S C \dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA}\cdot\dfrac{SB'}{SB}\cdot\dfrac{SC'}{SC} V S . A B C V S . A ′ B ′ C ′ = S A S A ′ ⋅ S B S B ′ ⋅ S C S C ′
为什么成立? 从顶点出发,让三点各自沿自己所在的棱独立滑动,相当于在三个不同方向上独立地拉伸这个棱锥,因此体积应当按这三个独立拉伸系数的乘积变化,就像独立缩放长方体的三条棱会使其体积乘以三个缩放系数的乘积一样。
证明 以顶点 S S S u ⃗ = S A → \vec{u} = \overrightarrow{SA} u = S A v ⃗ = S B → \vec{v} = \overrightarrow{SB} v = S B w ⃗ = S C → \vec{w} = \overrightarrow{SC} w = S C V S . A B C = 1 6 ∣ u ⃗ ⋅ ( v ⃗ × w ⃗ ) ∣ V_{S.ABC} = \frac{1}{6}\left|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right| V S . A B C = 6 1 ∣ u ⋅ ( v × w ) ∣
由于 A ′ ∈ S A A' \in SA A ′ ∈ S A B ′ ∈ S B B' \in SB B ′ ∈ S B C ′ ∈ S C C' \in SC C ′ ∈ S C S A ′ → = k 1 u ⃗ \overrightarrow{SA'} = k_1\vec{u} S A ′ = k 1 u S B ′ → = k 2 v ⃗ \overrightarrow{SB'} = k_2\vec{v} S B ′ = k 2 v S C ′ → = k 3 w ⃗ \overrightarrow{SC'} = k_3\vec{w} S C ′ = k 3 w k 1 = S A ′ S A k_1 = \frac{SA'}{SA} k 1 = S A S A ′ k 2 = S B ′ S B k_2 = \frac{SB'}{SB} k 2 = S B S B ′ k 3 = S C ′ S C k_3 = \frac{SC'}{SC} k 3 = S C S C ′ V S . A ′ B ′ C ′ = 1 6 ∣ ( k 1 u ⃗ ) ⋅ ( ( k 2 v ⃗ ) × ( k 3 w ⃗ ) ) ∣ V_{S.A'B'C'} = \frac{1}{6}\left|(k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big)\right| V S . A ′ B ′ C ′ = 6 1 ( k 1 u ) ⋅ ( ( k 2 v ) × ( k 3 w ) )
标量三重积是三线性的(对三个向量变元中的每一个都是线性的),因此 ( k 1 u ⃗ ) ⋅ ( ( k 2 v ⃗ ) × ( k 3 w ⃗ ) ) = k 1 k 2 k 3 ( u ⃗ ⋅ ( v ⃗ × w ⃗ ) ) (k_1\vec{u})\cdot\big((k_2\vec{v})\times(k_3\vec{w})\big) = k_1 k_2 k_3 \left(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\right) ( k 1 u ) ⋅ ( ( k 2 v ) × ( k 3 w ) ) = k 1 k 2 k 3 ( u ⋅ ( v × w ) ) V S . A ′ B ′ C ′ = k 1 k 2 k 3 ⋅ V S . A B C V_{S.A'B'C'} = k_1k_2k_3 \cdot V_{S.ABC} V S . A ′ B ′ C ′ = k 1 k 2 k 3 ⋅ V S . A B C V S . A ′ B ′ C ′ V S . A B C = S A ′ S A ⋅ S B ′ S B ⋅ S C ′ S C \dfrac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA}\cdot\dfrac{SB'}{SB}\cdot\dfrac{SC'}{SC} V S . A B C V S . A ′ B ′ C ′ = S A S A ′ ⋅ S B S B ′ ⋅ S C S C ′
进阶 柏拉图立体与欧拉公式 定义: 柏拉图立体(正多面体)
柏拉图立体是这样一种凸多面体:所有面都是全等的正多边形,且每个顶点处相交的面数相同。恰好存在五种这样的立体:正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。对任意凸多面体,顶点数 V V V E E E F F F V − E + F = 2 V - E + F = 2 V − E + F = 2
正十二面体是五种柏拉图立体之一:有12个全等的正五边形面、20个顶点和30条棱,满足欧拉公式 V − E + F = 2 V - E + F = 2 V − E + F = 2 20 − 30 + 12 = 2 20 - 30 + 12 = 2 20 − 30 + 12 = 2 五种柏拉图立体 立体 面数/顶点数/棱数 正四面体 4 / 4 / 6 正方体 6 / 8 / 12 正八面体 8 / 6 / 12 正十二面体 12 / 20 / 30 正二十面体 20 / 12 / 30
进阶 实际应用与典型例题 考古学家利用 V = 1 3 B h V = \frac{1}{3}Bh V = 3 1 B h
例题: 估算一座大金字塔的石料体积
一座方形底面的石制金字塔,底边长约为 230 230 230 146 146 146
解答 底面是边长为 230 230 230 B = 230 2 = 52900 B = 230^2 = 52900 B = 23 0 2 = 52900 m 2 \text{m}^2 m 2
将此底面积与高度 146 146 146 V = 1 3 × 52900 × 146 ≈ 2,575,333 V = \frac{1}{3} \times 52900 \times 146 \approx 2{,}575{,}333 V = 3 1 × 52900 × 146 ≈ 2 , 575 , 333 m 3 \text{m}^3 m 3
例题: 缩小建筑模型所需的树脂用量
某3D打印工作室已经算出实物大小的四面体屋顶结构 S . A B C S.ABC S . A B C V S . A B C = 2,700 V_{S.ABC} = 2{,}700 V S . A B C = 2 , 700 cm 3 \text{cm}^3 cm 3 S S S k = 1 3 k = \frac{1}{3} k = 3 1 S A , S B , S C SA, SB, SC S A , S B , S C A ′ , B ′ , C ′ A', B', C' A ′ , B ′ , C ′ S . A ′ B ′ C ′ S.A'B'C' S . A ′ B ′ C ′ cm 3 \text{cm}^3 cm 3
解答 由体积比定理,由于三个比值 S A ′ S A , S B ′ S B , S C ′ S C \frac{SA'}{SA}, \frac{SB'}{SB}, \frac{SC'}{SC} S A S A ′ , S B S B ′ , S C S C ′ k = 1 3 k = \frac{1}{3} k = 3 1 V S . A ′ B ′ C ′ V S . A B C = k 3 = 1 27 \frac{V_{S.A'B'C'}}{V_{S.ABC}} = k^3 = \frac{1}{27} V S . A B C V S . A ′ B ′ C ′ = k 3 = 27 1
将其应用于已知体积 V S . A B C = 2,700 V_{S.ABC} = 2{,}700 V S . A B C = 2 , 700 cm 3 \text{cm}^3 cm 3 V S . A ′ B ′ C ′ = 2,700 27 = 100 V_{S.A'B'C'} = \frac{2{,}700}{27} = 100 V S . A ′ B ′ C ′ = 27 2 , 700 = 100 cm 3 \text{cm}^3 cm 3
常见错误. 两个常见错误:(1) 忘记系数 1 3 \frac{1}{3} 3 1 V = B h V = Bh V = B h V = 1 3 B h V = \frac{1}{3}Bh V = 3 1 B h h h h 历史注记
公元前350至340年前后,尼多斯的欧多克索斯发展了穷竭法,首次严格确立了棱锥的体积公式;欧几里得在《几何原本》第XII卷(约公元前300年)中记录了这一证明的一个版本,其中就包括上文所用的把三棱柱分割成三个等积四面体的方法。几十年后,阿基米德把这种穷竭法推向更远,以惊人的精度计算并比较了球、圆柱与圆锥的体积。
亚历山大里亚的欧几里得 叙拉古的阿基米德
底面积为 B B B h h h
V = B h V = Bh V = B h V = 1 3 B h V = \frac{1}{3}Bh V = 3 1 B h V = 2 B h V = 2Bh V = 2 B h V = 1 2 B h V = \frac{1}{2}Bh V = 2 1 B h 一座埃及式正方形底面金字塔,底边230米,高146米。它的体积(立方米)最接近下列哪个值?
772 , 600 772,600 772 , 600 2 , 575 , 300 2,575,300 2 , 575 , 300 7 , 725 , 900 7,725,900 7 , 725 , 900 52 , 900 52,900 52 , 900 一个正十二面体有20个顶点和30条棱。根据欧拉公式 V − E + F = 2 V - E + F = 2 V − E + F = 2
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一家铸造厂将一个三棱锥形状的实物大小奖杯按比例缩小铸造迷你版,使从顶点出发的每条棱长都变为原来的四分之一。与实物大小的奖杯相比,每个迷你版需要多少金属?
原来的 1 4 \frac{1}{4} 4 1 原来的 1 16 \frac{1}{16} 16 1 原来的 1 64 \frac{1}{64} 64 1 相同的量