Công thức khoảng cách Euclid trong mặt phẳng

Xét điểm phụ $C(x_2,y_1)$ có cùng tọa độ thứ hai $y_1$ với $A(x_1,y_1)$ và cùng tọa độ thứ nhất $x_2$ với $B(x_2,y_2)$.

Đoạn thẳng $AC$ song song với trục thứ nhất và có độ dài $AC=|x_2-x_1|$, còn đoạn thẳng $CB$ song song với trục thứ hai và có độ dài $CB=|y_2-y_1|$. Vì hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên $\angle ACB=90^\circ$.

Áp dụng Định lý Pythagore cho tam giác vuông $\triangle ACB$ ta được $AB^2=AC^2+CB^2=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$. Lấy căn bậc hai không âm cho ta $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ (công thức vẫn đúng cả khi $x_1=x_2$ hoặc $y_1=y_2$).