平面欧几里得距离公式

引入辅助点 $C(x_2,y_1)$，它与 $A(x_1,y_1)$ 具有相同的第二坐标 $y_1$，与 $B(x_2,y_2)$ 具有相同的第一坐标 $x_2$。

线段 $AC$ 平行于第一轴，长度为 $AC=|x_2-x_1|$；线段 $CB$ 平行于第二轴，长度为 $CB=|y_2-y_1|$。由于两条坐标轴互相垂直，故 $\angle ACB=90^\circ$。

对直角三角形 $\triangle ACB$ 应用勾股定理得 $AB^2=AC^2+CB^2=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$。取非负平方根即得 $AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$（当 $x_1=x_2$ 或 $y_1=y_2$ 时该式同样成立）。