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10 年级

平面坐标方法

用数值坐标和方程来描述平面上的点、直线与圆。

直观把几何转化为代数

在一座按编号方格网规划的城市里，只需两个数字就能确定任意建筑物的位置：从中心广场向东多少个街区、向北多少个街区。坐标几何把同样的思想应用于欧几里得平面：固定两条相交于原点的垂直数轴后，每个点都变成有序数对，每条直线都变成一次方程，每个圆都变成二次方程。关于交点、距离与相切的几何问题由此转化为代数计算。

绘制可调斜率与截距直线的交互式坐标平面
当 a=0a=0 且 b=0b=0 时，多项式曲线化为直线 y=cx+dy=cx+d（即 cx−y+d=0cx-y+d=0）；调节斜率 cc 与截距 dd，观察方程如何控制坐标平面上的直线。

中学坐标、直线与圆

定义: 笛卡尔坐标与距离公式

在以单位基向量 i⃗=(1,0)\vec{i}=(1,0) 和 j⃗=(0,1)\vec{j}=(0,1) 建立的笛卡尔平面 OxyOxy 中，每个点 MM 都有由 OM→=xi⃗+yj⃗\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j} 唯一确定的坐标 M(x,y)M(x,y)。给定两点 A(x1,y1)A(x_1,y_1) 与 B(x2,y2)B(x_2,y_2)，位移向量为 AB→=(x2−x1,y2−y1)\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)，线段 ABAB 的中点为 I ⁣(x1+x22,y1+y22)I\!\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)，AA 与 BB 之间的距离为 AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}。

Δ:  ax+by+c=0(a2+b2>0),d(M0,Δ)=∣ax0+by0+c∣a2+b2\Delta:\; ax + by + c = 0 \quad (a^2+b^2 > 0), \qquad d(M_0, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

平面上的每条直线 Δ\Delta 都可以写成满足 a2+b2>0a^2+b^2>0 的一般方程 ax+by+c=0ax+by+c=0。非零向量 n⃗=(a,b)\vec{n}=(a,b) 是垂直于 Δ\Delta 的法向量，而因为 n⃗⋅u⃗=a(−b)+ba=0\vec{n}\cdot\vec{u}=a(-b)+ba=0，所以 u⃗=(−b,a)\vec{u}=(-b,a) 是平行于 Δ\Delta 的方向向量。任意一点 M0(x0,y0)M_0(x_0,y_0) 到直线 Δ\Delta 的垂直距离由 d(M0,Δ)=∣ax0+by0+c∣a2+b2d(M_0,\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} 给出。

(x−a)2+(y−b)2=R2  ⟺  x2+y2−2ax−2by+c=0(R=a2+b2−c>0)(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \iff x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \quad (R = \sqrt{a^2+b^2-c} > 0)

以 I(a,b)I(a,b) 为圆心、R>0R>0 为半径的圆由到 II 的距离为 RR 的所有点 M(x,y)M(x,y) 组成；将 IM=RIM=R 两边平方即得圆的标准方程 (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2。展开平方项得到一般方程 x2+y2−2ax−2by+c=0x^2+y^2-2ax-2by+c=0，当 a2+b2−c>0a^2+b^2-c>0 时它表示圆心为 I(a,b)I(a,b)、半径为 R=a2+b2−cR=\sqrt{a^2+b^2-c} 的实圆。

平面坐标公式汇总
几何对象坐标方程 / 公式关键参数
线段长度AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}端点 A(x1,y1)A(x_1,y_1) 与 B(x2,y2)B(x_2,y_2)
直线的一般式ax+by+c=0ax+by+c=0法向量 n⃗=(a,b)\vec{n}=(a,b)，方向向量 u⃗=(−b,a)\vec{u}=(-b,a)
点到直线的距离d(M0,Δ)=∣ax0+by0+c∣a2+b2d(M_0,\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}点 M0(x0,y0)M_0(x_0,y_0) 与直线 Δ:ax+by+c=0\Delta: ax+by+c=0
圆(x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2圆心 I(a,b)I(a,b) 与半径 R>0R>0

大学核心定理

定理: 平面欧几里得距离公式

对笛卡尔平面上的任意两点 A(x1,y1)A(x_1,y_1) 与 B(x2,y2)B(x_2,y_2)，它们之间的距离为 AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}。

为什么成立?

过 AA 与 BB 作平行于坐标轴的直线，可围成直角边长分别为 ∣x2−x1∣|x_2-x_1| 与 ∣y2−y1∣|y_2-y_1| 的直角三角形，因此斜边 ABAB 直接由勾股定理给出。

证明

引入辅助点 C(x2,y1)C(x_2,y_1)，它与 A(x1,y1)A(x_1,y_1) 具有相同的第二坐标 y1y_1，与 B(x2,y2)B(x_2,y_2) 具有相同的第一坐标 x2x_2。

线段 ACAC 平行于第一轴，长度为 AC=∣x2−x1∣AC=|x_2-x_1|；线段 CBCB 平行于第二轴，长度为 CB=∣y2−y1∣CB=|y_2-y_1|。由于两条坐标轴互相垂直，故 ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ。

对直角三角形 △ACB\triangle ACB 应用勾股定理得 AB2=AC2+CB2=∣x2−x1∣2+∣y2−y1∣2=(x2−x1)2+(y2−y1)2AB^2=AC^2+CB^2=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2。取非负平方根即得 AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}（当 x1=x2x_1=x_2 或 y1=y2y_1=y_2 时该式同样成立）。

定理: 点到直线的距离公式

点 M0(x0,y0)M_0(x_0,y_0) 到直线 Δ:ax+by+c=0\Delta: ax+by+c=0（其中 a2+b2>0a^2+b^2>0）的垂直距离为 d(M0,Δ)=∣ax0+by0+c∣a2+b2d(M_0,\Delta)=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}。

为什么成立?

从 M0M_0 到 Δ\Delta 的最短线段沿法线方向 n⃗=(a,b)\vec{n}=(a,b)，因此把从 Δ\Delta 上任一点指向 M0M_0 的向量投影到单位法向量 n⃗∣n⃗∣\dfrac{\vec{n}}{|\vec{n}|} 上，就能精确测出垂直距离。

证明

设 H(xH,yH)H(x_H,y_H) 为 M0(x0,y0)M_0(x_0,y_0) 在 Δ\Delta 上的正投影。因为 HM0→\overrightarrow{HM_0} 与法向量 n⃗=(a,b)\vec{n}=(a,b) 平行，故存在实数 t∈Rt\in\mathbb{R} 使得 HM0→=tn⃗=(ta,tb)\overrightarrow{HM_0}=t\vec{n}=(ta,tb)，从而 xH=x0−tax_H=x_0-ta，yH=y0−tby_H=y_0-tb。

由于 HH 在 Δ\Delta 上，其坐标满足 axH+byH+c=0ax_H+by_H+c=0。代入 xHx_H 与 yHy_H 得 a(x0−ta)+b(y0−tb)+c=0a(x_0-ta)+b(y_0-tb)+c=0，即 ax0+by0+c−t(a2+b2)=0ax_0+by_0+c-t(a^2+b^2)=0。

解出 tt 得 t=ax0+by0+ca2+b2t=\dfrac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}。因此所求距离为 d(M0,Δ)=∣HM0→∣=∣t∣ ∣n⃗∣=∣ax0+by0+c∣a2+b2a2+b2=∣ax0+by0+c∣a2+b2d(M_0,\Delta)=|\overrightarrow{HM_0}|=|t|\,|\vec{n}|=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{a^2+b^2}\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}。

大学实际应用与典型例题

坐标几何支撑着地理信息系统（GIS）、自主导航以及机器人学中的碰撞检测。通过将道路表示为直线方程、将信号覆盖范围或安全区表示为圆方程，软件可以立即计算出车辆是否偏离航线或进入受限半径。

例题: 从站点到高速公路的最短连接道路

在坐标地图上（单位：千米），一条笔直的高速公路沿直线 Δ:3x+4y−12=0\Delta: 3x+4y-12=0 延伸，救援站位于 M0(4,5)M_0(4,5)。求连接 M0M_0 与高速公路 Δ\Delta 的最短直线连接道路的长度。

解答

从 M0(4,5)M_0(4,5) 到直线 Δ:3x+4y−12=0\Delta: 3x+4y-12=0 的最短道路是垂线段，其长度由 a=3a=3、b=4b=4、c=−12c=-12 的点到直线距离公式给出。

代入 (x0,y0)=(4,5)(x_0,y_0)=(4,5) 得 d(M0,Δ)=∣3(4)+4(5)−12∣32+42=∣12+20−12∣25=205=4d(M_0,\Delta)=\dfrac{|3(4)+4(5)-12|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|12+20-12|}{\sqrt{25}}=\dfrac{20}{5}=4 km。

例题: 雷达覆盖圆与相切飞行航线

位于 I(1,−2)I(1,-2) 的雷达塔可追踪半径 R=5R=5 km 内的飞机。写出覆盖边界圆的方程，并检验沿直线 Δ:3x−4y−20=0\Delta: 3x-4y-20=0 飞行的飞机是否与该边界相切。

解答

由圆心 I(1,−2)I(1,-2) 与半径 R=5R=5，覆盖边界圆的方程为 (x−1)2+(y+2)2=25(x-1)^2+(y+2)^2=25。

直线 Δ\Delta 与圆相切当且仅当圆心 I(1,−2)I(1,-2) 到 Δ\Delta 的距离等于 RR。计算该距离得 d(I,Δ)=∣3(1)−4(−2)−20∣32+(−4)2=∣3+8−20∣5=95=1.8d(I,\Delta)=\dfrac{|3(1)-4(-2)-20|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\dfrac{|3+8-20|}{5}=\dfrac{9}{5}=1.8 km。因为 d(I,Δ)=1.8<5=Rd(I,\Delta)=1.8<5=R，所以该航线穿过雷达区域内部而非与边界相切。

两点 A(−1,2)A(-1,2) 与 B(2,6)B(2,6) 之间的距离 ABAB 是多少？

下列哪一个是直线 Δ:2x−5y+7=0\Delta: 2x-5y+7=0 的法向量 n⃗\vec{n}？

点 M0(1,2)M_0(1,2) 到直线 Δ:3x+4y−6=0\Delta: 3x+4y-6=0 的垂直距离是多少？

位于 I(3,−4)I(3,-4) 的 Wi-Fi 路由器覆盖半径为 R=6R=6 m 的圆形区域。下列哪个方程描述其信号范围的边界圆？

参考文献

  1. René Descartes (trans. David Eugene Smith, Marcia L. Latham) (1954). The Geometry of René Descartes
  2. H. S. M. Coxeter (1969). Introduction to Geometry