Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng

Viết tổng theo thứ tự thuận rồi theo thứ tự ngược, số hạng nọ dưới số hạng kia: $S_n = u_n + u_{n-1} + \cdots + u_1$ chính là cùng một tổng, chỉ liệt kê theo thứ tự ngược lại, nên việc viết nó ngay dưới tổng thuận $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$ rồi cộng hai đẳng thức theo từng cột là hợp lệ.

Xét cột thứ $k$ của phép cộng đó: đó là $u_k+u_{n+1-k}$. Vì $u_k=u_1+(k-1)d$ và $u_{n+1-k}=u_1+(n-k)d$, cộng chúng lại cho $u_k+u_{n+1-k}=2u_1+(n-1)d=u_1+u_n$. Vậy cả $n$ cột đều cho ra đúng cùng một giá trị $u_1+u_n$, bất kể $k$ — đây chính là sự triệt tiêu đã nói ở trên.

Cộng cả $n$ cột lại, ta được $2S_n = n(u_1+u_n)$, vì vế trái là $S_n+S_n$ còn vế phải là $n$ lần hằng số $u_1+u_n$.

Chia cả hai vế cho $2$ ta được $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$. Thay $u_n=u_1+(n-1)d$ vào biểu thức này và khai triển, ta được dạng thứ hai $S_n=nu_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$, hữu ích khi chưa biết $u_n$. Lập luận này không hề chia cho một đại lượng có thể bằng $0$, và không giả sử $n$ chẵn (việc ghép cặp chỉ là phép cộng đại số theo cột, không phải ghép cặp vật lý các phần tử), nên nó đúng với mọi $n\geq 1$.