等差数列前 $n$ 项之和

把这个和顺着写一遍,再倒着写一遍,逐项对齐:$S_n = u_n + u_{n-1} + \cdots + u_1$ 正是同一个和,只是按相反顺序列出,所以把它写在顺序和 $S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n$ 下面,再逐列相加是合理的。

看这次相加的第 $k$ 列:它是 $u_k+u_{n+1-k}$。因为 $u_k=u_1+(k-1)d$ 且 $u_{n+1-k}=u_1+(n-k)d$,把它们相加得到 $u_k+u_{n+1-k}=2u_1+(n-1)d=u_1+u_n$。也就是说,不论 $k$ 取何值,全部 $n$ 列都给出完全相同的值 $u_1+u_n$——这正是上面所说的相互抵消。

把全部 $n$ 列相加,便得到 $2S_n = n(u_1+u_n)$,因为左边是 $S_n+S_n$,右边是常数 $u_1+u_n$ 加了 $n$ 次。

两边同除以 $2$,得到 $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$。把 $u_n=u_1+(n-1)d$ 代入并展开,就得到第二种形式 $S_n=nu_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$,在尚不知道 $u_n$ 时很有用。这个论证从未除以可能为 $0$ 的量,也从未假设 $n$ 为偶数(这里的配对纯粹是逐列的代数加法,不是元素两两配对),所以它对一切 $n\geq 1$ 都成立。