Đặc trưng hình bình hành qua hai đường chéo

Bước 1 (hình bình hành suy ra đường chéo cắt nhau tại trung điểm). Giả sử $ABCD$ là hình bình hành. Vì các cạnh đối song song và bằng nhau, ta có $AB = CD$, đồng thời các góc so le trong tạo bởi hai đường chéo thỏa mãn $\angle OAB = \angle OCD$ và $\angle OBA = \angle ODC$. Theo trường hợp bằng nhau Góc-Cạnh-Góc, $\triangle AOB \cong \triangle COD$, nên các cạnh tương ứng cho $OA = OC$ và $OB = OD$.

Bước 2 (đường chéo cắt nhau tại trung điểm suy ra các tam giác đối bằng nhau). Ngược lại, giả sử $OA = OC$ và $OB = OD$. Vì hai góc đối đỉnh tại giao điểm bằng nhau ($\angle AOB = \angle COD$), trường hợp Cạnh-Góc-Cạnh cho $\triangle AOB \cong \triangle COD$, suy ra $\angle OAB = \angle OCD$. Bằng đúng lập luận Cạnh-Góc-Cạnh đó cho cặp góc đối đỉnh còn lại ($\angle AOD = \angle COB$), ta thu được $\triangle AOD \cong \triangle COB$, suy ra $\angle OAD = \angle OCB$.

Bước 3 (góc so le trong bằng nhau buộc các cạnh đối song song). Hai đẳng thức $\angle OAB = \angle OCD$ và $\angle OAD = \angle OCB$ khẳng định các cặp góc so le trong tạo bởi cát tuyến đường chéo với cả hai cặp cạnh đối đều bằng nhau, buộc $AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$. Vậy $ABCD$ là hình bình hành.