Công thức Vi-ét

Phát biểu

Với đa thức đơn khởi (hệ số cao nhất bằng 1) $x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ có các nghiệm $r_1,\dots,r_n$ (tính cả bội), các tổng đối xứng sơ cấp của các nghiệm bằng hệ số sai khác dấu: $\sum_i r_i = -a_{n-1}$, $\sum_{i<j} r_ir_j = a_{n-2}$, …, $r_1r_2\cdots r_n=(-1)^n a_0$.

Vì sao đúng?

Nếu đã biết các nghiệm của một đa thức, ta có thể dựng lại đa thức bằng cách nhân ra $(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$. Khai triển tích đó trộn các nghiệm theo mọi cách có thể — tổng từng nghiệm, tổng tích từng cặp nghiệm, v.v. — và những tổ hợp đó chính là các hệ số. Vậy hệ số không phải số tùy ý: chúng là bản ghi nén cách các nghiệm kết hợp với nhau.

Chủ đề chứa định lý này

Định lý liên quan

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.