Bổ đề Zorn
Phát biểu
Cho là một tập sắp thứ tự bộ phận khác rỗng, trong đó mọi dây chuyền (tập con sắp thứ tự toàn phần) đều có cận trên trong . Khi đó có ít nhất một phần tử tối đại.
Vì sao đúng?
Để tìm phần tử tối đại, ta liên tục đi lên các phần tử lớn hơn thực sự để tạo thành một dây chuyền; giả thiết đảm bảo dây chuyền luôn có nơi để 'chặn lại', nên quá trình đi lên không thể kéo dài mãi mà không bao giờ đạt tới đỉnh — phần tử tối đại chắc chắn tồn tại.
Phác thảo chứng minh
Giả sử có tiên đề chọn, cố định một hàm chọn và xây dựng dây chuyền bằng đệ quy siêu hạn: ở mỗi bước, nếu dây chuyền hiện tại có cận trên thực sự chưa thuộc dây chuyền, thêm một phần tử như vậy (chọn nhờ hàm chọn); giả thiết đảm bảo cả ở các bước giới hạn cũng có cận trên. Quá trình này không thể vượt qua mọi số thứ tự (điều đó sẽ cho một dây chuyền dài hơn bất kỳ tập nào), nên phải dừng ở một phần tử tối đại. Ngược lại, áp dụng bổ đề Zorn cho tập sắp thứ tự bộ phận gồm các hàm chọn từng phần, sắp theo quan hệ mở rộng, ta thu được tiên đề chọn — hai điều tương đương trên nền ZF.
Chủ đề chứa định lý này
Định lý liên quan
Chứng minh từng bước
Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.
Tài liệu tham khảo
- Max Zorn (1935). A remark on method in transfinite algebra
- Kenneth Kunen (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs