Tiên đềĐộc lập với tiên đề

Tiên đề chọn

Phát biểu

Với mọi họ $(A_i)_{i\in I}$ gồm các tập khác rỗng, tồn tại một hàm chọn $f$ sao cho $f(i)\in A_i$ với mọi $i\in I$ : có thể chọn đồng thời một phần tử từ mỗi tập trong họ, kể cả khi $I$ vô hạn và không có quy tắc chọn tường minh nào được cho trước.

Vì sao đúng?

Với hữu hạn tập khác rỗng, việc chọn một phần tử từ mỗi tập là điều hiển nhiên. Tiên đề chọn mở rộng khả năng tưởng chừng hiển nhiên này sang các họ tập hợp bất kỳ, kể cả không đếm được, mà không đòi hỏi một công thức thống nhất nào để thực hiện việc chọn.

Phác thảo chứng minh

Kurt Gödel (1938) xây dựng vũ trụ khả kiến thiết $L$ , một mô hình của ZF trong đó AC đúng, cho thấy $\mathrm{ZF}+\mathrm{AC}$ nhất quán tương đối so với ZF. Paul Cohen (1963) phát minh phương pháp ép (forcing) để xây mô hình của $\mathrm{ZF}+\neg\mathrm{AC}$ , cho thấy AC không thể suy ra chỉ từ ZF. Hai kết quả cùng nhau xác lập tính độc lập của AC với ZF.

Người chứng minh

chứng minh năm 1963Kurt Gödel chứng minh năm 1963Paul Cohen

Chủ đề chứa định lý này

Hệ tiên đề ZFC

Định lý liên quan

Bổ đề Zorn

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.

Tài liệu tham khảo

Kurt Gödel (1940). The Consistency of the Continuum Hypothesis · DOI:10.1515/9781400881635
Paul J. Cohen (1963). The Independence of the Continuum Hypothesis