第1题

设

x_1,x_2,\ldots,x_n

为正实数，且

S=x_1+x_2+\cdots+x_n

。证明

(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}

。

第 2/4 步：比较 S 的各次幂与相应的对称和

S^k=(x_1+\cdots+x_n)^k\ge k!e_k\qquad(1\le k\le n)

详细分析

固定一组 $k$ 个不同指标。积 $x_{i_1}\cdots x_{i_k}$ 对这些指标的每个排列都在 $S^k$ 中出现，故至少出现 $k!$ 次。其余各项均为正，对所有指标集合求和即得 $S^k\ge k!e_k$ 。