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亚太数学奥林匹克
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1989年
›
第1题
第1题
设
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
x_1,x_2,\ldots,x_n
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
为正实数，且
S
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
S=x_1+x_2+\cdots+x_n
S
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
。证明
(
1
+
x
1
)
(
1
+
x
2
)
⋯
(
1
+
x
n
)
≤
1
+
S
+
S
2
2
!
+
S
3
3
!
+
⋯
+
S
n
n
!
(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}
(
1
+
x
1
)
(
1
+
x
2
)
⋯
(
1
+
x
n
)
≤
1
+
S
+
2
!
S
2
+
3
!
S
3
+
⋯
+
n
!
S
n
。
第 3/4 步：得到每个对称和的上界
上一步
下一步
e
k
≤
S
k
k
!
(
k
=
1
,
2
,
…
,
n
)
e_k\le\dfrac{S^k}{k!}\qquad(k=1,2,\ldots,n)
e
k
≤
k
!
S
k
(
k
=
1
,
2
,
…
,
n
)
详细分析
整理
S
k
≥
k
!
e
k
S^k\ge k!e_k
S
k
≥
k
!
e
k
得
e
k
≤
S
k
/
k
!
e_k\le S^k/k!
e
k
≤
S
k
/
k
!
。这正是乘积展开中每个非恒定项所需的估计。
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