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第1题

设 x1,x2,…,xnx_1,x_2,\ldots,x_n 为正实数，且 S=x1+x2+⋯+xnS=x_1+x_2+\cdots+x_n。证明 (1+x1)(1+x2)⋯(1+xn)≤1+S+S22!+S33!+⋯+Snn!(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\le 1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dfrac{S^3}{3!}+\cdots+\dfrac{S^n}{n!}。
第 4/4 步：对各次数的估计求和
上一步下一步
∏i=1n(1+xi)=∑k=0nek≤1+∑k=1nSkk!\prod_{i=1}^n(1+x_i)=\sum_{k=0}^ne_k\le 1+\sum_{k=1}^n\dfrac{S^k}{k!}
详细分析

使用 e0=1e_0=1 以及上一步对 k=1,…,nk=1,\ldots,n 的上界，所得不等式恰好就是题目要求。