第2题

证明方程

6(6a^2+3b^2+c^2)=5n^2

除

a=b=c=n=0

外没有整数解。

第 4/5 步：第二次模 8 论证推出 a 与 n0 为偶数

上一步下一步

a^2+2b_0^2+6c_1^2=5n_0^2\pmod{8}\Rightarrow 2\mid a,\ 2\mid n_0

详细分析

代入并除以 $2$ 得 $a^2+2b_0^2+6c_1^2=5n_0^2$ 。模 $2$ 知 $a,n_0$ 奇偶性相同。若二者皆奇，模 $4$ 迫使 $b_0,c_1$ 奇偶性相同；若二者皆奇，模 $8$ 矛盾，而若二者皆偶则方程给出 $1\equiv5\pmod8$ ，仍矛盾。因此 $a$ 与 $n_0$ 都是偶数。