MathLabs

第3题

设 A1,A2,A3A_1,A_2,A_3 为平面上三点,令 A4=A1A_4=A_1 且 A5=A2A_5=A_2。对 n=1,2,3n=1,2,3,令 BnB_n 为 AnAn+1A_nA_{n+1} 的中点,CnC_n 为 AnBnA_nB_n 的中点。令 Dn=AnCn+1∩BnAn+2D_n=A_nC_{n+1}\cap B_nA_{n+2},En=AnBn+1∩CnAn+2E_n=A_nB_{n+1}\cap C_nA_{n+2}。求三角形 D1D2D3D_1D_2D_3 与三角形 E1E2E3E_1E_2E_3 的面积比。
第 1/5 步:利用重心与中线比
G=A1B2∩A2B3∩A3B1,A3G:GB1=2:1G= A_1B_2\cap A_2B_3\cap A_3B_1,\qquad A_3G:GB_1=2:1
详细分析

由于 BnB_n 是各边中点,AnBn+1A_nB_{n+1} 是中线并交于重心 GG。重心将每条中线按 2:12:1 分割;例如若 A3B1=21tA_3B_1=21t,则 A3G=14tA_3G=14t 且 GB1=7tGB_1=7t。