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第3题

设 A1,A2,A3A_1,A_2,A_3 为平面上三点，令 A4=A1A_4=A_1 且 A5=A2A_5=A_2。对 n=1,2,3n=1,2,3，令 BnB_n 为 AnAn+1A_nA_{n+1} 的中点，CnC_n 为 AnBnA_nB_n 的中点。令 Dn=AnCn+1∩BnAn+2D_n=A_nC_{n+1}\cap B_nA_{n+2}，En=AnBn+1∩CnAn+2E_n=A_nB_{n+1}\cap C_nA_{n+2}。求三角形 D1D2D3D_1D_2D_3 与三角形 E1E2E3E_1E_2E_3 的面积比。
第 4/5 步：用梅涅劳斯定理确定 E 三角形
上一步下一步
E1=A1B2∩C1A3⇒GE1GA1=25E_1=A_1B_2\cap C_1A_3\Rightarrow\frac{GE_1}{GA_1}=\frac25
详细分析

在三角形 A1A2B2A_1A_2B_2 与直线 C1E1A3C_1E_1A_3 中应用梅涅劳斯定理并使用中点比，得 GE1/GA1=2/5GE_1/GA_1=2/5。循环对称性给出所有指标的 GEn/GAn=2/5GE_n/GA_n=2/5，故 E1E2E3E_1E_2E_3 是 A1A2A3A_1A_2A_3 的位似像，位似比为 2/52/5。