第3题

设

A_1,A_2,A_3

为平面上三点，令

A_4=A_1

且

A_5=A_2

。对

n=1,2,3

，令

B_n

为

A_nA_{n+1}

的中点，

C_n

为

A_nB_n

的中点。令

D_n=A_nC_{n+1}\cap B_nA_{n+2}

，

E_n=A_nB_{n+1}\cap C_nA_{n+2}

。求三角形

D_1D_2D_3

与三角形

E_1E_2E_3

的面积比。

第 5/5 步：取两个位似比的比值

\frac{[D_1D_2D_3]}{[E_1E_2E_3]}=\left(\frac{2/7}{2/5}\right)^2=\boxed{\frac{25}{49}}

详细分析

从 $E$ 三角形到 $D$ 三角形的线性比为 $(2/7)/(2/5)=5/7$ 。面积按线性比的平方缩放，因此所求比为 $[D_1D_2D_3]/[E_1E_2E_3]=25/49$ 。