MathLabs

第4题

设 SS 是由 mm 个满足 1≤a<b≤n1\le a<b\le n 的正整数对 (a,b)(a,b) 组成的集合。证明存在至少 m(4m−n2)3n\dfrac{m(4m-n^2)}{3n} 个三元组 (a,b,c)(a,b,c),使得 (a,b),(a,c)(a,b),(a,c) 和 (b,c)(b,c) 都属于 SS。
第 3/5 步:对边求和并校正三元组的重复计数
T≥13∑(i,j)∈S(di+dj−n)=13(∑i=1ndi2−mn)T\ge\frac13\sum_{(i,j)\in S}(d_i+d_j-n)=\frac13\left(\sum_{i=1}^n d_i^2-mn\right)
详细分析

对 mm 条边求公共邻点下界,得到边与完成顶点的出现次数。每个好三元组有三条边,故被计数三次。每个 did_i 对每条相连的边出现一次,因此度数项总和为 ∑idi2\sum_i d_i^2,而 nn 项总和为 mnmn。