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第5题

求所有满足下列条件的函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R:(1) ff 严格递增;(2) 对所有实数 xx,有 f(x)+g(x)=2xf(x)+g(x)=2x,其中 gg 是 ff 的复合逆函数。
第 3/5 步:得到逆函数的类似等式
gn(x)−x=n(g(x)−x)=−n(f(x)−x)g_n(x)-x=n(g(x)-x)=-n(f(x)-x)
详细分析

逆函数 gg 也严格递增,且其逆函数为 ff。对 gg 使用同样论证得 gn(x)−x=n(g(x)−x)g_n(x)-x=n(g(x)-x)。由原方程 g(x)−x=−(f(x)−x)g(x)-x=-(f(x)-x),所以 gn(x)−x=−n(f(x)−x)g_n(x)-x=-n(f(x)-x)。对任意输入 xx 同样成立。