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第5题

求所有满足下列条件的函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R：(1) ff 严格递增；(2) 对所有实数 xx，有 f(x)+g(x)=2xf(x)+g(x)=2x，其中 gg 是 ff 的复合逆函数。
第 4/5 步：单调性限制差的每个倍数
上一步下一步
x>y⇒x+n(a−b)>y,x−n(a−b)>y,a=f(x)−x, b=f(y)−yx>y\Rightarrow x+n(a-b)>y,\qquad x-n(a-b)>y,\quad a=f(x)-x,\ b=f(y)-y
详细分析

若 x>yx>y，递增函数 fnf_n 和 gng_n 保持顺序。由 fn(x)=x+naf_n(x)=x+na 得第一条不等式，由上一步的 gn(x)=x−nag_n(x)=x-na 得第二条。因此 x−y+n(a−b)x-y+n(a-b) 与 x−y−n(a−b)x-y-n(a-b) 都为正，故对每个正整数 nn 有 ∣n(a−b)∣<x−y|n(a-b)|<x-y。