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第5题

求所有满足下列条件的函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R：(1) ff 严格递增；(2) 对所有实数 xx，有 f(x)+g(x)=2xf(x)+g(x)=2x，其中 gg 是 ff 的复合逆函数。
第 5/5 步：证明位移为常数并验证
上一步下一步
∣n(a−b)∣<x−y∀n∈Z>0⇒a=b⇒f(x)=x+c|n(a-b)|<x-y\forall n\in\mathbb Z_{>0}\Rightarrow a=b\Rightarrow f(x)=x+c
详细分析

若 a≠ba\ne b，则当指标足够大时 ∣n(a−b)∣|n(a-b)| 会超过固定数 x−yx-y，矛盾。因此对所有 x,yx,y 有 f(x)−x=f(y)−yf(x)-x=f(y)-y，即 f(x)=x+cf(x)=x+c。其逆函数为 g(x)=x−cg(x)=x-c，且满足 f(x)+g(x)=2xf(x)+g(x)=2x；任意实常数 cc 都成立。