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第1题

在三角形 ABCABC 中，设 D,E,FD,E,F 分别是 BC,CA,ABBC,CA,AB 的中点，GG 是重心。对于 ∠BAC\angle BAC 的每一个取值，求使四边形 AEGFAEGF 内接于圆的、彼此不相似的三角形有多少个。
第 2/5 步：将内接条件化为中线关系
上一步下一步
AEGF cyclic⟺AI⋅IG=FI⋅IE⟺AD2=3CD2AEGF\text{ cyclic}\Longleftrightarrow AI\cdot IG=FI\cdot IE\Longleftrightarrow AD^2=3CD^2
详细分析

由 II 点处的相交弦定理，AEGFAEGF 内接当且仅当 AI⋅IG=FI⋅IEAI\cdot IG=FI\cdot IE。代入上述比例后得到等价关系 AD2=3CD2AD^2=3CD^2，这正是官方解答所采用的形式。