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第1题

在三角形 ABCABC 中，设 D,E,FD,E,F 分别是 BC,CA,ABBC,CA,AB 的中点，GG 是重心。对于 ∠BAC\angle BAC 的每一个取值，求使四边形 AEGFAEGF 内接于圆的、彼此不相似的三角形有多少个。
第 3/5 步：导出关于角度和边长比的条件
上一步下一步
cos⁡A=AB2+AC24AB⋅AC=14(ABAC+ACAB)\cos A=\frac{AB^2+AC^2}{4AB\cdot AC}=\frac14\left(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}\right)
详细分析

在三角形 ABDABD 和 ACDACD 中应用余弦定理，并利用 AD2=3CD2AD^2=3CD^2。于是得到 cos⁡A=(AB2+AC2)/(4AB AC)\cos A=(AB^2+AC^2)/(4AB\,AC)，也就是所示的关于 AB/ACAB/AC 的对称表达式。