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第1题

在三角形 ABCABC 中，设 D,E,FD,E,F 分别是 BC,CA,ABBC,CA,AB 的中点，GG 是重心。对于 ∠BAC\angle BAC 的每一个取值，求使四边形 AEGFAEGF 内接于圆的、彼此不相似的三角形有多少个。
第 5/5 步：计算彼此不相似的三角形数
上一步下一步
A=60∘:AB=AC;A<60∘:r+1r=4cos⁡A has two reciprocal rootsA=60^\circ: AB=AC;\qquad A<60^\circ: r+\frac1r=4\cos A\text{ has two reciprocal roots}
详细分析

当 A=60∘A=60^\circ 时，算术—几何平均取等迫使 AB=ACAB=AC，因而得到一个等边三角形的相似类。当 A<60∘A<60^\circ 时令 r=AB/ACr=AB/AC，方程 r+1/r=4cos⁡A>2r+1/r=4\cos A>2 有两个互为倒数的正根。交换 B,CB,C 会交换这两个根，并得到相似三角形，所以彼此不相似的只有一个。因此 A>60∘A>60^\circ 时答案为 00，而对所有 A≤60∘A\le60^\circ，答案为 11。