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第2题

设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 为正实数，令 SrS_r 表示从中任取 rr 个数所得各乘积之和。证明对 k=1,2,…,n−1k=1,2,\ldots,n-1，有 SkSn−k≥(nk) ⁣2SnS_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n。
第 1/4 步：用子集为基本对称和编号
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Sr=∑∣I∣=raI,aI=∏i∈IaiS_r=\sum_{|I|=r}a_I,\qquad a_I=\prod_{i\in I}a_i
详细分析

对任意子集 I⊆{1,…,n}I\subseteq\{1,\ldots,n\}，记 aI=∏i∈Iaia_I=\prod_{i\in I}a_i。则 Sr=∑∣I∣=raIS_r=\sum_{|I|=r}a_I，而大小为 kk 的子集共有 (nk)\binom nk 个。