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第2题

设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 为正实数，令 SrS_r 表示从中任取 rr 个数所得各乘积之和。证明对 k=1,2,…,n−1k=1,2,\ldots,n-1，有 SkSn−k≥(nk) ⁣2SnS_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n。
第 2/4 步：把每个子集与其补集配对
上一步下一步
aIaIc=∏i=1nai=Sn(∣I∣=k)a_Ia_{I^c}=\prod_{i=1}^na_i=S_n\qquad(|I|=k)
详细分析

若 ∣I∣=k|I|=k，则 ∣Ic∣=n−k|I^c|=n-k。在 II 上的乘积与在 IcI^c 上的乘积相乘，正好是所有变量的乘积，即 Sn=a1a2⋯anS_n=a_1a_2\cdots a_n。