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第2题

设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 为正实数，令 SrS_r 表示从中任取 rr 个数所得各乘积之和。证明对 k=1,2,…,n−1k=1,2,\ldots,n-1，有 SkSn−k≥(nk) ⁣2SnS_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n。
第 3/4 步：用同一指标集重写两个因子
上一步下一步
SkSn−k=(∑∣I∣=kaI)(∑∣I∣=kaIc)S_kS_{n-k}=\left(\sum_{|I|=k}a_I\right)\left(\sum_{|I|=k}a_{I^c}\right)
详细分析

取补集是从 kk 元子集到 (n−k)(n-k) 元子集的双射。因此第二个对称和也可用同一组 kk 元子集编号，从而得到所示乘积。