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第2题

设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 为正实数，令 SrS_r 表示从中任取 rr 个数所得各乘积之和。证明对 k=1,2,…,n−1k=1,2,\ldots,n-1，有 SkSn−k≥(nk) ⁣2SnS_kS_{n-k}\ge\binom{n}{k}^{\!2}S_n。
第 4/4 步：应用柯西—施瓦茨不等式并完成证明
上一步下一步
SkSn−k≥(∑∣I∣=kaIaIc)2=(nk)2SnS_kS_{n-k}\ge\left(\sum_{|I|=k}\sqrt{a_Ia_{I^c}}\right)^2=\binom nk^2S_n
详细分析

柯西—施瓦茨不等式的形式 (∑xI)(∑yI)≥(∑xIyI)2(\sum x_I)(\sum y_I)\ge(\sum\sqrt{x_Iy_I})^2 给出第一个不等式。由补集关系，每个根号都等于 Sn\sqrt{S_n}，且共有 (nk)\binom nk 项。因此 SkSn−k≥(nk)2SnS_kS_{n-k}\ge\binom nk^2S_n。