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亚太数学奥林匹克
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1991年
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第3题
第3题
设a_1,a_2,...,a_n和b_1,b_2,...,b_n为正实数，且a_1+...+a_n=b_1+...+b_n。证明
∑
i
=
1
n
a
i
2
a
i
+
b
i
≥
a
1
+
⋯
+
a
n
2
\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{a_1+\cdots+a_n}{2}
∑
i
=
1
n
a
i
+
b
i
a
i
2
≥
2
a
1
+
⋯
+
a
n
。
第 2/3 步：利用两和相等的条件
上一步
下一步
∑
i
=
1
n
(
a
i
+
b
i
)
=
∑
a
i
+
∑
b
i
=
2
∑
a
i
.
\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)=\sum a_i+\sum b_i=2\sum a_i.
i
=
1
∑
n
(
a
i
+
b
i
)
=
∑
a
i
+
∑
b
i
=
2
∑
a
i
.
详细分析
根据题设，两个总和相等，因此所有分母的总和等于公共总和的两倍。
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