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亚太数学奥林匹克
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1991年
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第3题
第3题
设a_1,a_2,...,a_n和b_1,b_2,...,b_n为正实数，且a_1+...+a_n=b_1+...+b_n。证明
∑
i
=
1
n
a
i
2
a
i
+
b
i
≥
a
1
+
⋯
+
a
n
2
\sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \ge \frac{a_1+\cdots+a_n}{2}
∑
i
=
1
n
a
i
+
b
i
a
i
2
≥
2
a
1
+
⋯
+
a
n
。
第 3/3 步：化简下界
上一步
下一步
∑
i
=
1
n
a
i
2
a
i
+
b
i
≥
(
∑
a
i
)
2
2
∑
a
i
=
1
2
∑
a
i
.
\sum_{i=1}^n\frac{a_i^2}{a_i+b_i}\ge\frac{(\sum a_i)^2}{2\sum a_i}=\frac12\sum a_i.
i
=
1
∑
n
a
i
+
b
i
a
i
2
≥
2
∑
a
i
(
∑
a
i
)
2
=
2
1
∑
a
i
.
详细分析
将分母总和代入柯西–施瓦茨估计，并约去正的公共和，便得到所要求的不等式。
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