第2题

在圆心为

O

、半径为

r

的圆

C

内，设圆

C_1,C_2

的圆心分别为

O_1,O_2

、半径分别为

r_1,r_2

。每个

C_i

都在

A_i

处与

C

内切，而

C_1,C_2

在

A

处外切。证明直线

OA

、

O_1A_2

和

O_2A_1

共点。

第 3/4 步：在圆心三角形中应用塞瓦定理

\frac{OA_1}{A_1O_1}\cdot\frac{O_1A}{AO_2}\cdot\frac{O_2A_2}{A_2O}=\frac{r}{r_1}\cdot\frac{r_1}{r_2}\cdot\frac{r_2}{r}=1

详细分析

在三角形 $OO_1O_2$ 中，三条塞瓦线为 $O_2A_1$ 、 $OA$ 和 $O_1A_2$ 。三个有向边比的乘积为 $1$ ，正是塞瓦定理的条件，所以三线共点。