亚太数学奥林匹克 · 1992年

试题

第1题给定边长为a、b、c的三角形。令其半周长为s=(a+b+c)/2。作出边长为s-a、s-b、s-c的三角形，并在可能时重复这一过程。哪些原三角形能使该过程无限进行？解法: 1
第2题在圆心为 $O$ 、半径为 $r$ 的圆 $C$ 内，设圆 $C_1,C_2$ 的圆心分别为 $O_1,O_2$ 、半径分别为 $r_1,r_2$ 。每个 $C_i$ 都在 $A_i$ 处与 $C$ 内切，而 $C_1,C_2$ 在 $A$ 处外切。证明直线 $OA$ 、 $O_1A_2$ 和 $O_2A_1$ 共点。解法: 1
第3题设整数 $n>3$ 。从集合 $\{1,2,\ldots,n\}$ 中选取三个数，每个数使用一次，利用加法、乘法和括号写出所有可能的表达式。(a) 证明：若三个选数都大于 $n/2$ ，则所得各值两两不同。(b) 设 $p$ 是满足 $p\le \sqrt{n}$ 的素数。证明最小选数为 $p$ 且表达式的值不全相异的选法数，恰好等于 $p-1$ 的正因数个数。解法: 1
第4题求所有具有如下性质的正整数对 $(h,s)$ ：画出 $h$ 条水平直线，再画出 $s$ 条满足 (i) 不水平、(ii) 任意两条不平行、(iii) 在全部 $h+s$ 条直线中任意三条不共点的直线；求所形成的区域数为 $1992$ 的所有正整数对。解法: 1
第5题求由非零整数构成的最长序列，使任意七个连续项的和为正，而任意十一个连续项的和为负。解法: 1