第3题

设整数

n>3

。从集合

\{1,2,\ldots,n\}

中选取三个数，每个数使用一次，利用加法、乘法和括号写出所有可能的表达式。(a) 证明：若三个选数都大于

n/2

，则所得各值两两不同。(b) 设

p

是满足

p\le \sqrt{n}

的素数。证明最小选数为

p

且表达式的值不全相异的选法数，恰好等于

p-1

的正因数个数。

第 1/7 步：记下所选三数并列出所有组合

1<x<y<z,\qquad x+y+z,\ x+yz,\ xy+z,\ y+zx,\ (x+y)z,\ (z+x)y,\ (y+z)x,\ xyz

详细分析

在两种情形中，所选数的最小值都至少为 $2$ ：在 (a) 中 $n/2>1$ ，在 (b) 中 $p$ 是素数。将三数记为 $1<x<y<z$ 。忽略交换律后，八个可能值就是上面列出的八个式子。