第3题

设整数

n>3

。从集合

\{1,2,\ldots,n\}

中选取三个数，每个数使用一次，利用加法、乘法和括号写出所有可能的表达式。(a) 证明：若三个选数都大于

n/2

，则所得各值两两不同。(b) 设

p

是满足

p\le \sqrt{n}

的素数。证明最小选数为

p

且表达式的值不全相异的选法数，恰好等于

p-1

的正因数个数。

第 3/7 步：比较两条链

(y+z)x-(y+zx)=(x-1)y>0,\qquad (x+z)y-(x+yz)=(y-1)x>0

详细分析

第一个不等式说明 $(y+z)x$ 大于 $y+zx$ ，第二个说明 $(x+z)y$ 大于 $x+yz$ 。因此除 $x+yz$ 与 $(y+z)x$ 之外，两条链之间的比较都已确定；其余各值严格有序。