第3题

设整数

n>3

。从集合

\{1,2,\ldots,n\}

中选取三个数，每个数使用一次，利用加法、乘法和括号写出所有可能的表达式。(a) 证明：若三个选数都大于

n/2

，则所得各值两两不同。(b) 设

p

是满足

p\le \sqrt{n}

的素数。证明最小选数为

p

且表达式的值不全相异的选法数，恰好等于

p-1

的正因数个数。

第 4/7 步：分解唯一可能的相等关系

x+yz=(y+z)x\Longleftrightarrow (y-x)(z-x)=x(x-1)

详细分析

展开并整理可能相等的式子得 $yz-xy-xz+x=0$ 。因式分解为 $(y-x)(z-x)=x(x-1)$ ，这正是表达式出现重复值的充要条件。