第3题

设整数

n>3

。从集合

\{1,2,\ldots,n\}

中选取三个数，每个数使用一次，利用加法、乘法和括号写出所有可能的表达式。(a) 证明：若三个选数都大于

n/2

，则所得各值两两不同。(b) 设

p

是满足

p\le \sqrt{n}

的素数。证明最小选数为

p

且表达式的值不全相异的选法数，恰好等于

p-1

的正因数个数。

第 5/7 步：排除 (a) 中的相等情形

n/2<x<y<z\Longrightarrow (y-x)(z-x)<(n/2-1)(n/2)<x(x-1)

详细分析

若三个数都大于 $n/2$ ，则 $z-x<n/2$ ；由于 $y-x<z-x$ 且二者是整数，有 $y-x<n/2-1$ 。所以 $(y-x)(z-x)<(n/2-1)(n/2)<x(x-1)$ ，上一步的条件不可能成立，故所有值都不同。