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第1题

设四边形 ABCDABCD 的各边相等，且 ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ。设直线 ℓ\ell 经过 DD，除 DD 外不与四边形相交。设 E,FE,F 分别是 ℓ\ell 与 AB,BCAB,BC 的交点，并令 M=CE∩AFM=CE\cap AF。证明 CA2=CM⋅CECA^2=CM\cdot CE。
第 2/5 步：利用第一个相似关系得到长度比
上一步下一步
△AED∼△CDF⟹AECD=ADCF⟹AEAC=ACCF\triangle AED\sim\triangle CDF\Longrightarrow \frac{AE}{CD}=\frac{AD}{CF}\Longrightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{AC}{CF}
详细分析

两个等边三角形给出 AD∥BCAD\parallel BC 和 CD∥ABCD\parallel AB。由于 E,D,FE,D,F 共线，三角形 AEDAED 与 CDFCDF 相似。因此 AE/CD=AD/CFAE/CD=AD/CF；将 ADAD 和 CDCD 都换成 ACAC，得到 AE/AC=AC/CFAE/AC=AC/CF。