亚太数学奥林匹克 · 1993年

试题

第1题设四边形 $ABCD$ 的各边相等，且 $\angle ABC=60^\circ$ 。设直线 $\ell$ 经过 $D$ ，除 $D$ 外不与四边形相交。设 $E,F$ 分别是 $\ell$ 与 $AB,BC$ 的交点，并令 $M=CE\cap AF$ 。证明 $CA^2=CM\cdot CE$ 。解法: 1
第2题对满足 $0\le x\le100$ 的实数 $x$ ，求 $f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\left\lfloor\frac{5x}{3}\right\rfloor+\lfloor3x\rfloor+\lfloor4x\rfloor$ 所取得的不同整数值总数。解法: 1
第3题设 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$ 和 $g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0$ 是非零实系数多项式，且对某个实数 $r$ 有 $g(x)=(x+r)f(x)$ 。若 $a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)$ 且 $c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|)$ ，证明 $\frac{a}{c}\le n+1$ 。解法: 1
第4题求所有正整数 $n$ ，使方程 $x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0$ 有整数解。解法: 1
第5题设 $P_1,P_2,\ldots,P_{1993}=P_0$ 是 $xy$ 平面上坐标为整数的互异点。假设对每个 $i=0,1,\ldots,1992$ ，在线段 $P_iP_{i+1}$ 上除 $P_i$ 和 $P_{i+1}$ 外没有坐标均为整数的点。证明存在某个 $i$ ， $0\le i\le1992$ ，使线段 $P_iP_{i+1}$ 上有一点 $Q=(q_x,q_y)$ ，且 $2q_x$ 和 $2q_y$ 都是奇整数。解法: 1