MathLabs

第1题

设四边形 ABCDABCD 的各边相等，且 ∠ABC=60∘\angle ABC=60^\circ。设直线 ℓ\ell 经过 DD，除 DD 外不与四边形相交。设 E,FE,F 分别是 ℓ\ell 与 AB,BCAB,BC 的交点，并令 M=CE∩AFM=CE\cap AF。证明 CA2=CM⋅CECA^2=CM\cdot CE。
第 3/5 步：证明第二个相似关系
上一步下一步
∠EAC=180∘−∠BAC=120∘=∠ACF⟹△EAC∼△ACF\angle EAC=180^\circ-\angle BAC=120^\circ=\angle ACF\Longrightarrow \triangle EAC\sim\triangle ACF
详细分析

因为 EE 在直线 ABAB 上且位于 BB 的另一侧，故 ∠EAC=180∘−∠BAC=120∘\angle EAC=180^\circ-\angle BAC=120^\circ。又三角形 ACDACD 为等边三角形，且 CFCF 平行于 ADAD，所以 ∠ACF=120∘\angle ACF=120^\circ。结合 AE/AC=AC/CFAE/AC=AC/CF，由边角边判定得 △EAC∼△ACF\triangle EAC\sim\triangle ACF。