MathLabs

第2题

对满足 0≤x≤1000\le x\le100 的实数 xx,求 f(x)=⌊x⌋+⌊2x⌋+⌊5x3⌋+⌊3x⌋+⌊4x⌋f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\left\lfloor\frac{5x}{3}\right\rfloor+\lfloor3x\rfloor+\lfloor4x\rfloor 所取得的不同整数值总数。
第 1/5 步:将问题化为一个周期
f(x+3)=f(x)+35f(x+3)=f(x)+35
详细分析

对任意整数 mm,有 ⌊t+m⌋=⌊t⌋+m\lfloor t+m\rfloor=\lfloor t\rfloor+m。应用于五个取整项,得到 f(x+3)=f(x)+3+6+5+9+12=f(x)+35f(x+3)=f(x)+3+6+5+9+12=f(x)+35。因此在每个长度为 33 的区间上,函数值都重复出现,只是整体平移了 3535。