第2题

对满足

0\le x\le100

的实数

x

，求

f(x)=\lfloor x\rfloor+\lfloor2x\rfloor+\left\lfloor\frac{5x}{3}\right\rfloor+\lfloor3x\rfloor+\lfloor4x\rfloor

所取得的不同整数值总数。

第 5/5 步：计算最后八个值

x\in[99,100]:\quad 99,\ 99+\frac14,\ 99+\frac13,\ 99+\frac12,\ 99+\frac35,\ 99+\frac23,\ 99+\frac34,\ 100

详细分析

剩余区间有八个不同断点： $99$ 、 $99+1/4$ 、 $99+1/3$ 、 $99+1/2$ 、 $99+3/5$ 、 $99+2/3$ 、 $99+3/4$ 和 $100$ 。不减阶梯函数在每个断点取得下一个值，因此增加 8 个值。总数为 $33\cdot22+8=734$ 。