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第3题

设 f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 和 g(x)=cn+1xn+1+cnxn+⋯+c0g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0 是非零实系数多项式，且对某个实数 rr 有 g(x)=(x+r)f(x)g(x)=(x+r)f(x)。若 a=max⁡(∣an∣,…,∣a0∣)a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|) 且 c=max⁡(∣cn+1∣,…,∣c0∣)c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|)，证明 ac≤n+1\frac{a}{c}\le n+1。
第 1/5 步：展开乘积并记录系数递推关系
上一步下一步
cn+1=an,ck=ak−1+rak (1≤k≤n),c0=ra0c_{n+1}=a_n,\qquad c_k=a_{k-1}+ra_k\ (1\le k\le n),\qquad c_0=ra_0
详细分析

比较 g(x)=(x+r)f(x)g(x)=(x+r)f(x) 的系数得 cn+1=anc_{n+1}=a_n；当 1≤k≤n1\le k\le n 时，ck=ak−1+rakc_k=a_{k-1}+ra_k；并且 c0=ra0c_0=ra_0。按定义，gg 的每个系数绝对值都不超过 cc。