第3题

设

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0

和

g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0

是非零实系数多项式，且对某个实数

r

有

g(x)=(x+r)f(x)

。若

a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)

且

c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|)

，证明

\frac{a}{c}\le n+1

。

第 2/5 步：处理 r=0 的情形

r=0\Longrightarrow a=c\Longrightarrow \frac{a}{c}=1\le n+1

详细分析

若 $r=0$ ，则 $c_0=0$ ，当 $1\le k\le n$ 时 $c_k=a_{k-1}$ ，且 $c_{n+1}=a_n$ 。所以两个最大值相等，即 $a=c$ ；又因 $f$ 非零而有 $a=c>0$ 。故 $\frac{a}{c}=1\le n+1$ 。