第3题

设

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0

和

g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0

是非零实系数多项式，且对某个实数

r

有

g(x)=(x+r)f(x)

。若

a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)

且

c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|)

，证明

\frac{a}{c}\le n+1

。

第 4/5 步：当 |r| 小于 1 时使用反向归纳

上一步下一步

0<|r|<1\Longrightarrow |a_n|\le c,\quad |a_{n-1}|<2c,\quad |a_{n-k}|<(k+1)c

详细分析

当 $0<|r|<1$ 时， $|a_n|=|c_{n+1}|\le c$ 且 $|a_{n-1}|=|c_n-ra_n|<c+c=2c$ 。若 $|a_{n-k}|\le(k+1)c$ ，则 $|a_{n-k-1}|=|c_{n-k}-ra_{n-k}|<c+(k+1)c=(k+2)c$ 。所以每个系数都满足 $|a_j|\le(n+1)c$ 。