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第4题

求所有正整数 nn，使方程 xn+(2+x)n+(2−x)n=0x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0 有整数解。
第 1/6 步：排除偶数指数
上一步下一步
n even⟹xn+(2+x)n+(2−x)n>0n\text{ even}\Longrightarrow x^n+(2+x)^n+(2-x)^n>0
详细分析

若 nn 为偶数，则 xnx^n、(2+x)n(2+x)^n 和 (2−x)n(2-x)^n 都非负，且不可能同时为零，所以它们的和为正。因此可能的 nn 必须为奇数。