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第4题

求所有正整数 nn，使方程 xn+(2+x)n+(2−x)n=0x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0 有整数解。
第 6/6 步：导出 2-adic 矛盾
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v2(yn)≥n>1butv2(−2T)=1⟹contradictionv_2(y^n)\ge n>1\quad\text{but}\quad v_2(-2T)=1\Longrightarrow\text{contradiction}
详细分析

由于 TT 为奇数，右边 −2T-2T 恰含一个因子 22。但 yy 为偶数，所以 yny^n 至少含有 n>1n>1 个因子 22。矛盾排除了所有奇数 n>1n>1。结合前述情形，唯一答案为 n=1n=1。