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第5题

设 P1,P2,…,P1993=P0P_1,P_2,\ldots,P_{1993}=P_0 是 xyxy 平面上坐标为整数的互异点。假设对每个 i=0,1,…,1992i=0,1,\ldots,1992，在线段 PiPi+1P_iP_{i+1} 上除 PiP_i 和 Pi+1P_{i+1} 外没有坐标均为整数的点。证明存在某个 ii，0≤i≤19920\le i\le1992，使线段 PiPi+1P_iP_{i+1} 上有一点 Q=(qx,qy)Q=(q_x,q_y)，且 2qx2q_x 和 2qy2q_y 都是奇整数。
第 2/3 步：找到同类相邻点
上一步下一步
Pi=(a,b), Pi+1=(c,d) have the same parity for some iP_i=(a,b),\ P_{i+1}=(c,d)\text{ have the same parity for some }i
详细分析

在奇数个点 P0,P1,…,P1992P_0,P_1,\ldots,P_{1992} 中，必有相邻两点属于同一个奇偶类；否则类别会交替出现，最后一类将与第一类不同。