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亚太数学奥林匹克
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1994年
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第1题
第1题
设函数
f
:
R
→
R
f:\mathbb R\to\mathbb R
f
:
R
→
R
满足：对任意实数
x
,
y
x,y
x
,
y
，有
f
(
x
)
+
f
(
y
)
+
1
≥
f
(
x
+
y
)
≥
f
(
x
)
+
f
(
y
)
f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y)
f
(
x
)
+
f
(
y
)
+
1
≥
f
(
x
+
y
)
≥
f
(
x
)
+
f
(
y
)
；当
x
∈
[
0
,
1
)
x\in[0,1)
x
∈
[
0
,
1
)
时，
f
(
0
)
≥
f
(
x
)
f(0)\ge f(x)
f
(
0
)
≥
f
(
x
)
；且
−
f
(
−
1
)
=
f
(
1
)
=
1
-f(-1)=f(1)=1
−
f
(
−
1
)
=
f
(
1
)
=
1
。求所有这样的函数。
第 1/4 步：令
y
=
1
y=1
y
=
1
应用不等式
上一步
下一步
f
(
x
)
+
1
≤
f
(
x
+
1
)
≤
f
(
x
)
+
2
f(x)+1\le f(x+1)\le f(x)+2
f
(
x
)
+
1
≤
f
(
x
+
1
)
≤
f
(
x
)
+
2
详细分析
在题设不等式中代入
f
(
1
)
=
1
f(1)=1
f
(
1
)
=
1
，得到
f
(
x
)
+
1
≤
f
(
x
+
1
)
≤
f
(
x
)
+
2
f(x)+1\le f(x+1)\le f(x)+2
f
(
x
)
+
1
≤
f
(
x
+
1
)
≤
f
(
x
)
+
2
。
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