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第1题

设函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R 满足：对任意实数 x,yx,y，有 f(x)+f(y)+1≥f(x+y)≥f(x)+f(y)f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y)；当 x∈[0,1)x\in[0,1) 时，f(0)≥f(x)f(0)\ge f(x)；且 −f(−1)=f(1)=1-f(-1)=f(1)=1。求所有这样的函数。
第 2/4 步：令 y=−1y=-1 应用不等式
上一步下一步
f(x)≤f(x+1)≤f(x)+1f(x)\le f(x+1)\le f(x)+1
详细分析

取 y=−1y=-1，并把 xx 替换为 x+1x+1。由于 f(−1)=−1f(-1)=-1，不等式化为 f(x)≤f(x+1)≤f(x)+1f(x)\le f(x+1)\le f(x)+1。结合前面的界，得到 f(x+1)=f(x)+1f(x+1)=f(x)+1。