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第1题

设函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R 满足：对任意实数 x,yx,y，有 f(x)+f(y)+1≥f(x+y)≥f(x)+f(y)f(x)+f(y)+1\ge f(x+y)\ge f(x)+f(y)；当 x∈[0,1)x\in[0,1) 时，f(0)≥f(x)f(0)\ge f(x)；且 −f(−1)=f(1)=1-f(-1)=f(1)=1。求所有这样的函数。
第 3/4 步：确定 [0,1)[0,1) 上的函数值
上一步下一步
f(0)=0,f(x)≤0 (0≤x<1),f(x)+f(1−x)≥0f(0)=0,\qquad f(x)\le0\ (0\le x<1),\qquad f(x)+f(1-x)\ge0
详细分析

由 f(1)=f(0)+1=1f(1)=f(0)+1=1 得 f(0)=0f(0)=0，而条件 (ii) 给出当 0≤x<10\le x<1 时 f(x)≤0f(x)\le0。将题设不等式用于 xx 和 1−x1-x，得到 f(x)+f(1−x)≥0f(x)+f(1-x)\ge0。